\section{实对称矩阵的谱理论及其应用}

\begin{frame}{实对称矩阵的谱理论及其应用}
在第五章我们得到，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，换句话说，存在一个可逆矩阵 $ C$ 使得
$
 C^{\mathrm{T}}  A  C
$
成对角形。
\pause
利用欧氏空间的理论，第五章中关于实对称矩阵的结果可以加强。我们将证明：
\begin{theorem*}
对于任意一个 $n$ 阶实对称矩阵 $A$, 都存在一个 $n$ 阶正交矩阵 $ T$, 使
\[
 T^{\mathrm{T}}  A  T= T^{-1}  A  T
\]
成对角形。
\end{theorem*}
\pause
我们知道方阵与线性变换有对应。
在\S4中，我们看到了正交矩阵与正交变换的一一对应。
这节我们将引入欧氏空间上的对称变换，并给出实对称矩阵与对称变换的一一对应。
我们将建立对称变换的谱理论，相应地，我们有实对称矩阵的谱理论。

\pause
\begin{sizheng}
等我们理解了实对称矩阵的谱理论后，建立谱理论（或其矩阵形式：正交或酉相似标准形）最好的方式是统一在规范变换、规范矩阵的框子中。规范矩阵包含了重要的矩阵的类：酉矩阵（包括正交矩阵）、Hermite矩阵（包括实对称矩阵）、Hermite反称矩阵（包括实反称矩阵）。规范变换的谱理论建立后可应用于刚才说的几类重要的矩阵。这体现了从特殊到一般再从一般到特殊的思想。
\end{sizheng}
\end{frame}

\begin{frame}

  从后面的证明过程我们不仅得到了实对称矩阵可以在实数域上相似对角化，
  而且证明了其属于不同的特征值的 (实) 特征向量自动是正交的 
  (引理~\ref{152})。
因此，正交矩阵 $T$ 可以按以下步骤求出：\\
(1) 求出 $A$ 的特征值。 设 $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ 是 $ A$ 的全部不同的特征值。\\
(2) 对于每个 $\lambda_{i}$, 解齐次线性方程组
\(
\left(\lambda_{i}  E- A\right)X=0,
\)
求出一个基础解系。%，这就是 $ A$ 的特征子空间 $V_{\lambda_{i}}$ 的一组基。
%由这组基出发，执行Gram-Schmidt 正交化过程求出 $V_{\lambda_{i}}$ 的一组标准正交基 $ \eta_{i 1}, \cdots,  \eta_{i k_{i}}$.
由此出发，执行Gram-Schmidt 正交化过程求出一组标准正交的特征向量 $\eta_{i 1}, \cdots,  \eta_{i k_{i}}$.\\
(3) 因为 $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}$ 两两不同， 所以%根据引理~\ref{152}, 
    向量组 $ \eta_{11}, \cdots,  \eta_{1 k_{1}}, \cdots,  \eta_{r 1}, \cdots,  \eta_{r k_{r}}$ 还是两两正交的。
    它们的个数之和就等于$A$的阶$n$, 因为实对称矩阵可以相似对角化。
 %根据定理~\ref{153}~知对称矩阵可相似对角化。 
 令
 \[
 \begin{aligned}
    T&= \begin{pmatrix}
       \eta_{11}& \cdots&  \eta_{1 k_{1}}& \cdots&  \eta_{r 1}& \cdots&  \eta_{r k_{r}}
      \end{pmatrix}, \\
     D&= \diag(\underbrace{\lambda_1,\cdots,\lambda_1}_{k_1\text{~次}},\cdots,
      \underbrace{\lambda_r,\cdots,\lambda_r}_{k_r\text{~次}}).
    \end{aligned}
 \]
 则$T$为满足列向量组标准正交的方阵，从而$T$是正交矩阵。
 而且由分块乘法知$AT=TD$, 因此$T^{\rT}AT=T^{-1}AT=D$.
 %因此， 它们就构成 $\symbf{R}^{(n)}$ 的一组标准正交基，并且也都是 $A$ 的特征向量。

\begin{example}
求一正交矩阵 $T$,使 $T^{\rT} A T$ 成对角形，其中
\(
A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & -1 \\
1 & 0 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}.
\)
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{solution}
    先求 $ A$ 的特征值。
\pause
    $ A$ 的全部特征值为 $1,1,1, -3$, 
    因为其特征多项式为
\[
\begin{aligned}
|\lambda  E- A| & =\begin{vmatrix}
\lambda & -1 & -1 & 1 \\
-1 & \lambda & 1 & -1 \\
-1 & 1 & \lambda & -1 \\
1 & -1 & -1 & \lambda
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\lambda-1 & -1 & -1 & 1 \\
\lambda-1 & \lambda & 1 & -1 \\
\lambda-1 & 1 & \lambda & -1 \\
\lambda-1 & -1 & -1 & \lambda
\end{vmatrix}
=
(\lambda-1)\begin{vmatrix}
1 & -1 & -1 & 1 \\
1 & \lambda & 1 & -1 \\
1 & 1 & \lambda & -1 \\
1 & -1 & -1 & \lambda
\end{vmatrix}\\
&= 
(\lambda-1)\begin{vmatrix}
1 & -1 & -1 & 1 \\
0 & \lambda+1 & 2 & -2 \\
0 & 2 & \lambda+1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & \lambda-1
\end{vmatrix}
= (\lambda-1)^{3}(\lambda+3).
\end{aligned}
\]

\pause
其次，求属于 $1$ 的特征向量。齐次线性方程组 $(E-A)X=0$ 的一个基础解系为
\[
 \alpha_{1}=(1,1,0,0), \quad
 \alpha_{2}=(1,0,1,0), \quad
 \alpha_{3}=(-1,0,0,1) .
\]
\pause
把它正交化，得
\[
\begin{array}{l}
 \beta_{1}= \alpha_{1}=(1,1,0,0), \\
 \beta_{2}= \alpha_{2}-\frac{\pair{ \alpha_{2},   \beta_{1}}}{\pair{ \beta_{1},   \beta_{1}}}  \beta_{1}=\frac{1}{2} \left(1,-1,2,0\right), \\
 \beta_{3}= \alpha_{3}-\frac{\pair{ \alpha_{3},   \beta_{1}}}{\pair{ \beta_{1},   \beta_{1}}}  \beta_{1}-\frac{\pair{ \alpha_{3},   \beta_{2}}}{\pair{ \beta_{2},   \beta_{2}}}  \beta_{2}=\frac{1}{3} \left(-1,1,1,3\right) .
\end{array}
\]
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{solution}[续]
再单位化，得
\[
 \eta_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1, 1, 0,0\right), \quad
 \eta_{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(1,-1,2, 0\right), \quad
 \eta_{3}=\frac{1}{\sqrt{12}}\left(-1, 1,1,3\right) .
\]
这是属于$3$重特征值 $1$ 的三个标准正交的特征向量。

\pause
再求属于 $-3$ 的特征向量。$(-3E-A)X=0$的一个基础解系为
\(
 \alpha_4= (1,-1,-1,1).
\)
\pause
把它单位化， 得
\[
  \eta_{4}=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).
\]
这是属于$1$重特征值 $-3$ 的一个单位特征向量。

最后令
\[
T=\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{12}} & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{12}} & -\frac{1}{2} \\
0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{12}} & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & \frac{3}{\sqrt{12}} & \frac{1}{2}
\end{pmatrix},\quad 
D = \begin{pmatrix}
1 & & & \\
& 1 & & \\
& & 1 & \\
& & & -3
\end{pmatrix}.
\]
那么 $T$为正交矩阵，而且$T^{\rT}AT=D$.
\end{solution}

接下来我们开始证明本节开头的定理，这需要一些准备。
\end{frame}



\begin{frame}
 
\begin{lemma}\label{151}
设 $ A$ 是实对称矩阵， 则 $ A$ 的复特征值皆为实数。
\end{lemma}

%要证明上面的引理，我们需要引入复矩阵的共轭和共轭转置。
 对复矩阵$M=(c_{ij})$, $\bar{M}\coloneq (\bar{c}_{ij})$称为$M$的\emph{共轭}矩阵，
 其中$\bar{c}_{ij}$为$c_{ij}$的共轭复数。
 \pause
 由复数的共轭的运算性质可知取共轭与矩阵加法、乘法、数乘有如下相容的法则：
  \[
    \overline{MN}=\bar{M}\bar{N};\quad \overline{M+N}=\bar{M}+\bar{N}; \quad \overline{c M} =\bar{c} \bar{M},
  \]
  其中$M, N$是复矩阵，$c$是复数。
  \pause
  $M^{\mathrm{H}}\coloneq \bar{M}^{\rT}$称为$M$的\emph{共轭转置}或\emph{伴随}。
  \pause
  显然
  \(
    (M^{\mathrm{H}})^{\mathrm{H}}=M;
  \)
  \pause
  且对$0\neq \xi=(x_1,\cdots,x_n)^{\rT} \in \symbf{C}^{(n)}$,
  我们有
  \(
    \xi^{\mathrm{H}}\xi = \sum_{i=1}^n |x_i|^2>0.
  \)

  \vspace{-.5em}
\begin{proof}
  设 $(\lambda_{0}, \xi)$ 是 $ A$ 的一个特征对。
  由
  $ A \xi=\lambda_{0} \xi$
知
$
  \overline{ A \xi}=\bar{\lambda}_{0} \bar{\xi}.
$
进而有
\[
\lambda_{0} \bar{\xi}^{\rT} \xi = 
\overline{ \xi}^{\mathrm{T}}( A  \xi)=\overline{ \xi}^{\mathrm{T}}  A^{\mathrm{T}}  \xi=( A \overline{ \xi})^{\mathrm{T}}  \xi=(\overline{ A  \xi})^{\mathrm{T}}  \xi=\bar{\lambda}_{0} \bar{\xi}^{\rT} \xi,
\]
即 $(\lambda_0-\bar{\lambda}_0) \bar{\xi}^{\rT} \xi=0$. 
$ \xi\neq 0$表明
$\bar{\xi}^{\rT} \xi\neq 0.$
故 $\lambda_{0}=\bar{\lambda}_{0}$, 即 $\lambda_{0}$ 是一个实数。 
\end{proof}

\begin{exercise}
  \label{136}
    设$A$是斜称的实矩阵（即$A$满足$A^{\rT}=-A$）。证明：
  \begin{enumerate}
    \item $A$的特征值为$0$或纯虚数。
    \item 对实数$t>0$, $\det (tE +A)>0$.
    \item 更一般地，若$B$是正定矩阵，$\det (B+A)>0$.
  \end{enumerate}
\end{exercise}
\end{frame}

\begin{frame}


  给定实对称矩阵 $ A\in \symbf{R}^{n\times n}$, 在 $n$ 维欧氏空间 $\symbf{R}^{(n)}$ 上定义一个线性变换 $\symscr{A}$ 为
  \[\tag{1}
  \sA\colon \symbf{R}^{(n)} \rightarrow \symbf{R}^{(n)}, X\mapsto AX.
\]

\vspace*{-0.5em}
\pause
\begin{lemma}
  设 $ A$ 是实对称矩阵， $\sA$ 的定义如上， 则对任意 $ \alpha,  \beta \in \symbf{R}^{(n)}$, 有
\begin{align*}
   \beta^{\mathrm{T}}( A  \alpha) =  \alpha^{\mathrm{T}}  A  \beta,\quad 
  \pair{\mathscr{A}  \alpha,   \beta} = \pair{ \alpha,  \mathscr{A}  \beta}. \tag{3}
\end{align*}
\end{lemma}
\pause
\begin{proof}
%显然 $\mathscr{A}$ 在自然基
%\[
%  \varepsilon_{1}=(1,0,\cdots,0)^{\rT},  \varepsilon_2=(0,1,\cdots, 0)^{\rT}, \cdots, \varepsilon_n=(0,\cdots,0,1)
%\]
%下的矩阵就是 $ A$.
%因此只要证明$ \beta^{\mathrm{T}}( A  \alpha)= \alpha^{\mathrm{T}}  A  \beta$. 实际上
我们有
\[
% \beta^{\mathrm{T}}( A  \alpha)= \beta^{\mathrm{T}}  A^{\mathrm{T}}  \alpha=( A  \beta)^{\mathrm{T}}  \alpha= \alpha^{\mathrm{T}}( A  \beta) .
  \beta^{\rT} (A\alpha)= (\beta^{\rT} (A\alpha))^{\rT} =\alpha^{\rT} A^{\rT} \beta = \alpha^{\rT} A \beta.
\]
又$\mathscr{A}$ 在$\bR^{(n)}$的自然基(当然是标准正交基)下的矩阵就是 $ A$, 从而
\[
  \pair{\sA \alpha, \beta}=\pair{\beta, \sA \alpha} = \beta^{\rT}(A\alpha)  =
  \alpha^{\rT} A\beta=\pair{\alpha, \sA \beta}.
\]
\end{proof}

等式 (3) 把实对称矩阵的特性反映到线性变换上。 我们引入

\begin{definition}
  欧氏空间$V$上线性变换$\sA$称为\emph{对称变换}，若对任意的$\alpha, \beta\in V$
  有$\pair{\sA \alpha, \beta}=\pair{\alpha, \sA \beta}$.
\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}

注意到 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵；诚然，
设对称变换$\sA$在标准正交基$\symbb{B}$下的矩阵为$A$, 对任意的$X, Y\in \bR^{(n)}$, 
令$\alpha=\symbb{B} X, \beta=\symbb{B} Y$, 则有
\[
  X^{\rT} (AY)=(\alpha, \sA \beta)=(\sA \alpha, \beta)= (AX)^{\rT} Y =X^{\rT} A^{\rT} Y,
\]
从而$A=A^{\rT}$.
\pause
反过来，取定一标准正交基，类似地可知矩阵是对称矩阵的线性变换也是对称的。
因此在标准正交基下，对称变换的矩阵恰好是对称矩阵；
在标准正交基下，
在第七章定理~\ref{19F}~中
对一线性变换取其矩阵给出的一一对应中，
对称变换一一对应于对称矩阵 (\S4中我们已看到正交变换一一对应于正交矩阵)。


\pause
用对称变换来反映实对称矩阵，一些性质可以看得更清楚。


\begin{lemma}\label{183}
设 $\mathscr{A}$ 是对称变换， $V_{1}$ 是 $\mathscr{A}$-子空间， 则 $V_{1}{ }^{\perp}$ 也是 $\mathscr{A}$-子空间。
\end{lemma}

\begin{proof}
设 $ \alpha \in V_{1}{ }^{\perp}$, 要证 $\mathscr{A}  \alpha \in V_{1}{ }^{\perp}$, 即 $\mathscr{A}  \alpha \perp V_{1}$. 任取 $ \beta \in V_{1}$, 都有 $\mathscr{A}  \beta \in V_{1}$. 因 $ \alpha \perp V_{1}$,故 $\pair{ \alpha,  \mathscr{A}  \beta}=0$. 因此
\[
\pair{\mathscr{A}  \alpha,   \beta}=\pair{ \alpha,  \mathscr{A}  \beta}=0,
\]
即 $\mathscr{A}  \alpha \perp V_{1}, \mathscr{A}  \alpha \in V_{1}{ }^{\perp}, V_{1}{ }^{\perp}$ 也是 $\mathscr{A}$-子空间。 
\end{proof}

\end{frame}

\begin{frame}


\begin{lemma}\label{152}
  设$\sA$是对称变换，则属于$ A$ 的不同特征值的特征向量必正交。
\end{lemma}

\pause
\begin{proof}
设 $\lambda, \mu$ 是 $\sA$ 的两个不同的特征值， $ \alpha,  \beta$ 分别是属于 $\lambda, \mu$ 的特征向量： 
$\sA  \alpha=\lambda  \alpha$, $\sA  \beta=\mu  \beta$. 
由 $\pair{\mathscr{A}  \alpha,   \beta}=\pair{ \alpha,  \mathscr{A}  \beta}$, 有
\[
\lambda\pair{ \alpha,   \beta}=\mu\pair{ \alpha,   \beta} .
\]
因为 $\lambda \neq \mu$, 所以 $\pair{ \alpha,   \beta}=0$. 即 $\alpha, \beta$ 正交。 
\end{proof}

现在可以证明主要定理了。
\begin{theorem}\label{153}
\begin{enumerate}
  \item \emph{线性变换形式}： $n$维欧氏空间上的对称变换有 $n$ 个特征向量构成一组标准正交基。
    \pause
  \item \emph{矩阵形式}：对于任意一个 $n$ 阶实对称矩阵 $ A$, 都存在一个 $n$ 阶正交矩阵 $ T$, 使 $ T^{\mathrm{T}}  A  T=$ $T^{-1} A T$ 成对角形。
  \end{enumerate}
\end{theorem}

  \begin{remark}\label{138}
  应该指出，在定理~\ref{153}~中，对于正交矩阵 $ T$ 我们还可以进一步要求
$| T|=1.$
\pause
事实上， 如果求得的正交矩阵 $T$ 的行列式为 $-1$, 那么取
$S=\diag(-1,1,\cdots,1)$,
%\[
%  S=\begin{pmatrix}
%    -1 & & & & \\
%  & 1 & & & \\
%& & 1 & & \\
%& & & \ddots & \\
%& & & & 1
%\end{pmatrix},
%\]
则 $ T_{1}= T S$ 是正交矩阵 (即$T_1$由将$T$的第一列乘以$-1$所得)，而且
\(
| T_{1}|=| T|| S|=1 .
\)
\pause
显然 $ T_{1}^{\mathrm{T}}  A  T_{1}= T^{\mathrm{T}}  A  T$.
\end{remark}


\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof*}[定理~\ref{153}~的证明]
\begin{enumerate}
\item 
  设$\sA$是$n$维欧氏空间$V$上的对称变换。%我们可设$V=\symbf{R}^{(n)}$.
  我们对空间$V$的维数 $n$ 作归纳法。
  \pause
  $n=1$, 显然定理的结论成立。
  \pause
设 $n-1$ 时定理的结论成立。 对 $n$ 维欧氏空间 $V$,
对称变换 $\mathscr{A}$ 有一特征向量 $\alpha_{1}$, 其特征值为实数 $\lambda_{1}$. 把 $ \alpha_{1}$ 单位化，不妨仍记为 $ \alpha_{1}$. 
\pause
作 $L\left( \alpha_{1}\right)$ 的正交补，设为 $V_{1}$. 
\pause
由引理~\ref{183}, $V_{1}$ 是 $\mathscr{A}$-子空间， 其维数为 $n-1$. 
\pause
又 $\mathscr{A} | _{V_{1}}$ 显然也满足 (3), 仍是对称变换。
\pause
由归纳假设， $\mathscr{A}|_{V_{1}}$ 有 $n-1$ 个特征向量 $ \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{n}$ 构成 $V_{1}$ 的标准正交基。 
\pause
从而 $ \alpha_{1}$, $ \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{n}$ 是 $V$ 的标准正交基， 
\pause
又是 $\mathscr{A}$ 的 $n$ 个特征向量。证毕。
\pause
\item 对线性变换$\sA\colon \symbf{R}^{(n)}\rightarrow \symbf{R}^{(n)}, X\mapsto AX$应用 (1) 即可。
  \pause
  令$\symbb{B}=(\eta_1, \cdots, \eta_n)$是特征向量构成的标准正交基，其中$\eta_i$属于特征值$\lambda_i$.
  \pause
  令
  \[
    T=\begin{pmatrix}
      \eta_1 & \cdots & \eta_n
    \end{pmatrix},
  \]
  那么$T$是正交矩阵。
  \pause
  又
  $T$是自然基到基$\symbb{B}$的过渡矩阵，从而
  \pause
  \[
    T^{\rT} A T = T^{-1} A T 
    = \diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n).
  \]
\end{enumerate}
\end{proof*}




\end{frame}

\iffalse
\begin{frame}

下面来看看在给定了一个实对称矩阵 $ A$ 之后， 按什么办法求正交矩阵 $ T$, 使 $ T^{\mathrm{T}}  A  T$成对角形。
\pause
在定理的证明中我们看到，矩阵 $ A$ 按 (1) 式在 $\symbf{R}^{(n)}$ 中定义了一个线性变换。
求正交矩阵 $ T$ 的问题就相当于在 $\symbf{R}^{(n)}$ 中求一组由 $ A$ 的特征向量构成的标准正交基。
\pause
事实上，设
\[
 \eta_{1}=\begin{pmatrix}
t_{11} \\
t_{21} \\
\vdots \\
t_{n 1}
\end{pmatrix}, \quad  \eta_{2}=\begin{pmatrix}
t_{12} \\
t_{22} \\
\vdots \\
t_{n 2}
\end{pmatrix}, \quad \cdots, \quad  \eta_{n}=\begin{pmatrix}
t_{1 n} \\
t_{2 n} \\
\vdots \\
t_{n n}
\end{pmatrix}
\]
是 $\symbf{R}^{n}$ 的一组标准正交基，它们都是 $ A$ 的特征向量。
\pause
显然， 由 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 到 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots$, $ \eta_{n}$ 的过渡矩阵就是
\[
 T=\begin{pmatrix}
t_{11} & t_{12} & \cdots & t_{1 n} \\
t_{21} & t_{22} & \cdots & t_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
t_{n 1} & t_{n 2} & \cdots & t_{n n}
\end{pmatrix}
\]
$ T$ 是一个正交矩阵， 而
\[
 T^{-1}  A  T= T^{\mathrm{T}}  A  T
\]
就是对角形。
\end{frame}
\fi


\begin{frame}{谱理论应用到二次型}
我们把对称矩阵的谱定理应用到实二次型。
如果线性替换
%\[
%\left\{\begin{aligned}
%x_{1}= & c_{11} y_{1}+c_{12} y_{2}+\cdots+c_{1 n} y_{n}, \\
%x_{2}= & c_{21} y_{1}+c_{22} y_{2}+\cdots+c_{2 n} y_{n}, \\
%& \cdots \cdots \cdots \cdots \\
%x_{n}= & c_{n 1} y_{1}+c_{n 2} y_{2}+\cdots+c_{n n} y_{n}
%\end{aligned}\right.
%\]
$X=CY$
的矩阵 $ C=\left(c_{i j}\right)_{n \times n}$ 是正交的，那么它就称为\emph{正交的线性替换}。 正交的线性替换当然是非退化的。

\pause
用二次型的语言，定理~\ref{153}~可以叙述为
\begin{theorem}
任意一个实二次型
\[
  \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}, \quad \text{其中~} a_{i j}=a_{j i}
\]
都可以经过正交的线性替换变成平方和
\[
\lambda_{1} y_{1}^{2}+\lambda_{2} y_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n} y_{n}^{2},
\]
其中平方项的系数 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 就是矩阵 $ A$ 的特征多项式全部的根。
\end{theorem}

\begin{example}\label{190}
  用正交的线性替换化二次型
  \[
    f(x_1,x_2,x_3)= x_1^2+x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3
  \]
  为标准形。
    \end{example}

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{solution}
  二次型$f$的矩阵为
  \[
    A=\begin{pmatrix}
      1 & 2 & 2 \\
      2 & 1 & 2\\
      2 & 2 & 1
    \end{pmatrix}.
  \]
$A$的特征多项式为
    \[
      |\lambda E-A|=\begin{vmatrix}
      \lambda  -1 & -2 & -2 \\
      -2 & \lambda -1 & -2\\
      -2 & -2 & \lambda -1
    \end{vmatrix} = (\lambda+1)^2(\lambda-5),
    \]
    所以$A$的特征值为$-1, -1, 5$. 线性方程组
    $(-E-A)X=0$的一个基础解系为
    \[
      \alpha_1=(-1,1,0)^{\rT}, \quad \alpha_2=(-1,0,1)^{\rT}.
    \]
    下面对$\alpha_1,\alpha_2$执行Gram-Schmidt正交化过程:
    先正交化，令
    \[
      \beta_1=\alpha_1=(-1,1,0)^{\rT},\quad 
      \beta_2=\alpha_2-\frac{\pair{\alpha_2,\beta_1}}{\pair{\beta_1,\beta_1}}\beta_1=\frac{1}{2}(-1,-1,2)^{\rT};
    \]
  \end{solution}
\end{frame}


\begin{frame}

    \begin{solution}[续]
    再单位化，令
    \[
      \eta_1=\frac{\beta_1}{\norm{\beta_1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0)^{\rT},\quad 
      \eta_2=\frac{\beta_2}{\norm{\beta_2}}=\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,-1,2)^{\rT}.
    \]
    这样我们得到属于特征值$-1$的标准正交的两个特征向量$\eta_1, \eta_2$.
    $(5E-A)X=0$的一个基础解系为
    \[
      \alpha_3=(1,1,1)^{\rT}.
    \]
    单位化得
    \[
      \eta_3=\frac{\alpha_3}{\norm{\alpha_3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^{\rT}.
    \]
    这是属于特征值$5$的一个单位特征向量。
 令
    \[
      C= \begin{pmatrix}
      \eta_1 & \eta_2 & \eta_3
    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
      -\frac{1}{\sqrt{2}}   & -\frac{1}{\sqrt{6}}  & \frac{1}{\sqrt{3}}\\
      \frac{1}{\sqrt{2}}  &  -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\\
      0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}
    \end{pmatrix}, \quad
    D=\begin{pmatrix}
      -1 \\ & -1 \\ && 5
    \end{pmatrix}.
  \]
那么$C^{\rT}AC=D$.
  因此在正交的线性替换$X=CY$下，二次型$f$被化成了标准形：
\[
  f(x_1,x_2,x_3)=-y_1^2-y_2^2+5y_3^2.
\]
\end{solution}

\end{frame}


\begin{frame}{二次曲面的分类}
  最后我们指出，这一节的结果可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲面的方程，以及讨论二次曲面的分类。
  下面我们我们只对$\symbf{R}^3$中的二次曲面讨论，类似的讨论也适用于任意的$\symbf{R}^{n}$的二次超曲面。 

\begin{example}
  考虑$\symbf{R}^3$中在直角坐标系$Oxyz$下由
  \[
    x^2+y^2+z^2+4xy+4xz+4yz-4x+8y-4z+1=0
  \]
  定义的二次曲面。
  该方程可利用矩阵写为：
    \begin{align*}
    \tag{$*$}
    X^{\rT} A X +\beta^{\rT} X &= -1,\\
\text{其中} \quad 
    A=\begin{pmatrix}
      1 & 2 & 2 \\
      2 & 1 & 2\\
      2 & 2 & 1
    \end{pmatrix},\quad 
   & X=\begin{pmatrix}
      x \\ y \\z
    \end{pmatrix},\quad
    \beta=\begin{pmatrix}
      -4\\ 8 \\ -4
    \end{pmatrix}.
  \end{align*}
  从例~\ref{190}~我们知道可取到正交矩阵
  \[
    C= \begin{pmatrix}
    -\frac{1}{\sqrt{2}}   & -\frac{1}{\sqrt{6}}  & \frac{1}{\sqrt{3}}\\
      \frac{1}{\sqrt{2}}  &  -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\\
      0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{pmatrix}
\]
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
  \addtocounter{theorem}{-1}
  \begin{example}[续]
    (注意到 $|C|=1$) 使得
\[
  C^{\rT} A C=\begin{pmatrix}
    -1 \\ & -1 \\ && 5
  \end{pmatrix}.
\]
作第一类正交变换$X=CY$, 其中$Y=(x_1, y_1, z_1)^{\rT}$, 那么曲面方程 ($*$) 变成了
\[
  Y^{\rT}(C^{\rT} A C) Y + \beta^{\rT} C Y=-1,
\]
亦即
\[
  -x_1^2-y_1^2+5z_1^2 +6\sqrt{2}x_1-2\sqrt{6} y_1=-1,
\]
或者说，
\[
  (x_1-3\sqrt{2})^2 +(y_1+\sqrt{6})^2 -5z_1^2 = 25.
\]
再作移轴
\[
  x_1=x_2+3\sqrt{2}, \quad y_1=y_2-\sqrt{6}, \quad z_1=z_2,
\]
该方程可进而写为
\[
  \frac{x_2^2}{25}+\frac{y_2^2}{25}-\frac{z_2^2}{5}=1.
\]
这表明所给曲面是个单叶双曲面。
\end{example}

\end{frame}


\begin{frame}


在$3$维几何空间的直角坐标系下， 二次曲面的一般方程是
\[
a_{11} x^{2}+a_{22} y^{2}+a_{33} z^{2}+2 a_{12} x y+2 a_{13} x z+2 a_{23} y z+2 b_{1} x+2 b_{2} y+2 b_{3} z+d=0 .
\]
\pause
令
\[
 A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{12} & a_{22} & a_{23} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{pmatrix}, \quad  X=\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}, \quad  B=\begin{pmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
b_{3}
\end{pmatrix} .
\]
则 (5) 可以写成
\[
 X^{\mathrm{T}}  A  X+2  B^{\mathrm{T}}  X+d=0 .
\]
\pause
我们来做个转轴，其坐标变换公式为
\[
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} & c_{13} \\
c_{21} & c_{22} & c_{23} \\
c_{31} & c_{32} & c_{33}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_{1} \\
y_{1} \\
z_{1}
\end{pmatrix},
\]
或者，
\[
   X= C  X_{1},
\]
其中 $ C$ 为正交矩阵且 $| C|=1$ (参见注记~\ref{138}). 
\pause
在新坐标系中，曲面的方程就是
\[
 X_{1}^{\mathrm{T}}\left( C^{\mathrm{T}}  A  C\right)  X_{1}+2\left( B^{\mathrm{T}}  C\right)  X_{1}+d=0 .
\]

\end{frame}


\begin{frame}

根据上面的结果，有行列式为 $1$ 的正交矩阵 $ C$,使
\[
 C^{\mathrm{T}}  A  C=
\diag(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3).
%\begin{pmatrix}
%\lambda_{1} & 0 & 0 \\
%0 & \lambda_{2} & 0 \\
%0 & 0 & \lambda_{3}
%\end{pmatrix} .
\]
\pause
这就是说， 可以作一个转轴， 使曲面在新坐标系中的方程为
\[
\lambda_{1} x_{1}^{2}+\lambda_{2} y_{1}^{2}+\lambda_{3} z_{1}^{2}+2 b_{1}^{*} x_{1}+2 b_{2}^{*} y_{1}+2 b_{3}^{*} z_{1}+d=0,
\]
其中
\[
\left(b_{1}^{*}, b_{2}^{*}, b_{3}^{*}\right)=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)  C .
\]
\pause
这时， 再按照 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 是否为零的情况， 作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程。
\pause
譬如说，当 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 全不为零时，就作移轴
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=x_{2}-\frac{b_{1}^{*}}{\lambda_{1}}, \\
y_{1}=y_{2}-\frac{b_{2}^{*}}{\lambda_{2}}, \\
z_{1}=z_{2}-\frac{b_{3}^{*}}{\lambda_{3}} .
\end{array}\right.
\]
\pause
于是曲面的方程化为
\[
\lambda_{1} x_{2}^{2}+\lambda_{2} y_{2}^{2}+\lambda_{3} z_{2}^{2}+d^{*}=0,
\]
其中
\[
d^{*}=d-\frac{b_{1}^{* 2}}{\lambda_{1}}-\frac{b_{2}^{* 2}}{\lambda_{2}}-\frac{b_{3}^{* 2}}{\lambda_{3}} .
\]
\end{frame}

\begin{frame}
%二次曲面有九种：椭圆锥面、椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面（马鞍面）、椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面。
%\pause
  实际上，通过建立新的空间直角坐标系%
  （可以
  从旧的直角坐标系出发只作转轴和移轴\footnote{因此可以只取右手坐标系。}）， 
  我们可得$\symbf{R}^{3}$中二次曲面如下九类标准方程：
\pause
\begin{enumerate}
  \item 椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
  \item 椭圆锥面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$
  \item 单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
\item 双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
\item 椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$
\item 双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$
\item 椭圆柱面：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
\item 双曲柱面：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
\item 抛物柱面：$x^{2}=a y$ (可设$a>0$).
\end{enumerate}
所以，$\symbf{R}^{3}$中的二次曲面就上面九种。

\pause
\begin{sizheng}
分类数学对象是数学中的基本任务。一定程度的分类结果可以帮助我们建立一般的结论，尽管我们时时也寻求不依赖于分类的证明。
\end{sizheng}

\end{frame}



\iffalse
\begin{frame}
  \begin{figure}
    \centering
    \begin{subfigure}{.25\textwidth}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
%title=椭球面,
tick label style={font=\tiny},
view={110}{20},
axis lines =center,
mark=none,
axis on top,
xlabel={$x$},ylabel={$y$},zlabel={$z$},
xmax=3,
ymax=9,
zmax=1.5,
]
\addplot3 [
colormap/spring,
surf,
z buffer=sort,
samples=40,
 domain=0:2*pi,
y domain=0:2*pi,
](
{2*sin(deg(x))* cos(deg(y))},
{8*sin(deg(x))* sin(deg(y))},
{1*cos(deg(x))}
);
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption*{椭球面}
  \end{subfigure}
    \hskip{3em}
    \begin{subfigure}{.25\textwidth}
      \begin{tikzpicture}
  \begin{axis}[tick label style={font=\tiny}, view={120}{15}, axis lines =center, mark=none,
axis on top, xlabel={$x$},ylabel={$y$},zlabel={$z$}, xmax=5, ymax=3, xmin=-5,
ymin=-3, zmax=1.5, zmin=-1.5]
\addplot3 [colormap/spring, surf, z buffer=sort, samples=40, domain=-0.4*pi:0.4*pi,
y domain=0:2*pi]
({0.6*sec(deg(x))* cos(deg(y))}, {0.6*sec(deg(x))* sin(deg(y))}, {0.4*tan(deg(x))});
   \end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption*{单叶双曲面}
\end{subfigure}
\hskip{3em}
\begin{subfigure}{.25\textwidth}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[tick label style={font=\tiny}, view={110}{20}, axis lines =center, mark=none,
axis on top, xlabel={$x$},ylabel={$y$},zlabel={$z$}, xmax=20, ymax=10, xmin=-10,
ymin=-10, zmax=30, zmin=-30, width=30cm, height=30cm]
\addplot3 [colormap/spring, surf, z buffer=sort, samples=50,  domain=0.55*pi:1.4*pi,
y domain=0:2*pi]
({1.5*tan(deg(x))* cos(deg(y))}, {1.5*tan(deg(x))* sin(deg(y))}, {3*sec(deg(x))});
\addplot3 [colormap/spring, surf, z buffer=sort, samples=50,  domain=0.55*pi:1.4*pi,
y domain=0:2*pi]
({1.5*tan(deg(x))* cos(deg(y))}, {1.5*tan(deg(x))* sin(deg(y))}, {-3*sec(deg(x))});
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\caption*{双叶双曲面}
    \end{subfigure}

  \end{figure}
\end{frame}
\fi


\begin{frame}
  \begin{example}
    \begin{enumerate}
      \item 考虑二次曲面$z^2-2x^2-3y^2=1$. 作转轴
        \[
          \begin{pmatrix}
            x\\ y \\z
          \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
            0 & 1 & 0\\
            0 & 0 & 1 \\
            1 & 0 & 0
          \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
            x_1 \\ y_1 \\ z_1
        \end{pmatrix},
      \]
      可得标准方程$x_1^2-2y_1^2-3z_1^2=1$.
    \item 考虑二次曲面$y^2-2x^2=1$. 作转轴
        \[
          \begin{pmatrix}
            x\\ y \\z
          \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
            0 & 1 & 0\\
            1 & 0 & 0 \\
            0 & 0 & -1
          \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
            x_1 \\ y_1 \\ z_1
        \end{pmatrix},
      \]
      可得标准方程$x_1^2-2y_1^2=1$.
    \item 考虑二次曲面$x^2+ay+bz=0$ (其中$a,b$不全为$0$). 作转轴
        \[
          \begin{pmatrix}
            x\\ y \\z
          \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
            1 & 0 & 0\\
            0 & -\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} & \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\
            0 & -\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} & -\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}
          \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
            x_1 \\ y_1 \\ z_1
        \end{pmatrix},
      \]
      可得标准方程$x_1^2=\sqrt{a^2+b^2}y_1$.
    \end{enumerate}
  \end{example}
\end{frame}

\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 欧氏空间上的对称变换与实对称矩阵如何关联？对称变换有何性质？实对称矩阵有何性质？
    \item 谱定理说了啥？
    \item 给定实对称矩阵$A$, 如何找到正交矩阵$T$使得$T^{-1}AT$是对角阵？
    \item 如何用正交的线性替换把实二次型化成平方和的形式？
    \item 如何相差正交变换和平移下分类$\symbf{R}^3$中二次曲面？
  \end{enumerate}
\end{frame}
